Задача о торговле сохраняемого продукта при случайном спросе
Исправление ошибок, допущенных в предыдущий раз.
1. Забыли вычесть затраты на хранение.
2. Не учтено то, что остаток получается только при недостаточном спросе, поэтому
для вычисления среднего остатка нужно ещё домножить на вероятность малого спроса.
a – наименьший спрос
b – наибольший спрос
x - дневной запас
z – остаток от предыдущего дня
Стоимость дневного заказа – q(x - z)
При спросе меньше заказа y < x дневная выручка равна py - r.
При спросе больше заказа y ≥ x дневная выручка равна px.
Pl = (b - x) / (b - a) – вероятность избыточного спроса.
Ps = (x - a) / (b - a) – вероятность недостаточного спроса.
y = (a + x) / 2 – средний малый спрос.
Средний остаток от предыдущего дня при недостаточном спросе:
Zs = x - y = x - a/2 - x/2 = (x-a)/2.
Средний остаток от предыдущего дня при избыточном спросе:
Zl = 0.
Средний остаток:
z = Ps*Zs + Pl*Zl = (x-a)/(b-a) * (x-a)/2 + (b-x)/(b-a) * 0 = (x-a)/(b-a) * (x-a)/2.
-------------------------------------------------------
Простой пример, показывающий, что при вычислении средних затрат на пополнение заказа
нужно учитывать вероятность недостаточного спроса.
Пусть запас равен 2
Спрос равновероятно принимает значения 0,1,2 или 3.
Средний остаток при малом спросе (1 + 2) / 2 = 1,5.
Вероятность недостаточного спроса и избыточного спроса одинаковы и равны 0,5.
Средний остаток 0,5*1,5 + 0,5*0 = 0,75 + 0 = 0,75.
Поскольку дневной запас равен 2, то средний заказ до дневного запаса будет 2 - 0,75 = 1,25.
Статистическая проверка.
Поскольку каждое значение спроса равновероятно, то достаточно рассмотреть 4 дня,
для каждого дня по спросу вычисляется остаток и заказ на следующий день.
спрос | 0 1 2 3
–––––––––+––––––––––––
остаток | 2 1 0 0
заказ | 0 1 2 2 0+1+2+2 = 5 – суммарный заказ за четыре дня;
если p=1, то средние затраты на закупку в день до запаса 5 / 4 = 1,25.
-------------------------------------------------------
Формула прибыли H
H = -q * (x - (x - a) / 2 * (x - a) / (b - a)) +
+ (p * (a + x) / 2 - r) * (x - a) / (b - a) +
+ p * x * (b - x) / (b - a);
Первое слагаемое -q * (x - (x - a) / 2 * (x - a) / (b - a)) =
= -q * (x(b - a) - (x - a) / 2 * (x - a)) / (b - a);
без /(b-a) -q * (x(b - a) - (x - a) / 2 * (x - a)) = -q * (bx - ax - (xx - 2ax + aa)/2 ) =
= -q * (bx - xx/2 - aa/2) = -bqx + qxx/2 + qaa/2;
Второе слагаемое (p * (x + a) / 2 - r) * (x - a) = (p * (x + a)(x - a) / 2 - r(x - a)) =
без /(b-a) = pxx/2 - paa/2 - rx + ra;
Третье слагаемое p * x * (b - x) = pbx - pxx
без /(b-a)
H(b-a) = -bqx + qxx/2 + qaa/2 + pxx/2 - paa/2 - rx + ra + pbx - pxx;
H(b-a) = -bqx + qxx/2 + qaa/2 - pxx/2 - paa/2 - rx + ra + pbx;
dH(b-a)/dx = -bq + qx - px - r + pb - 2px = -(p-q)x + b(p-q) - r = 0;
x = b - r/(p-q).
Пример 1 x = 10 - 100/(300-200) = 10 - 1 = 9.
Пример 2 x = 10 - 400/(300-250) = 10 - 8 = 2.
Пример 3 x = 10 - 40/(30-28) = 10 - 20 = -10.
Пример 4 x = 10 - 30/(30-28) = 10 - 15 = -15.
Модель торговли сохраняемым товаром со случайным спросом (компьютерная симуляция).
p=30.0, q=20.0, r=10.0, a=2.0, b=10.0, n=10000000;
x: -2.0; среднедневная прибыль: -20.0; по формуле: -25.0
x: -1.0; среднедневная прибыль: -10.0; по формуле: -11.875
x: 0.0; среднедневная прибыль: 0.0; по формуле: 0.0
x: 1.0; среднедневная прибыль: 10.0; по формуле: 10.625
x: 2.0; среднедневная прибыль: 20.0; по формуле: 20.0
x: 3.0; среднедневная прибыль: 28.125314875267737; по формуле: 28.125
x: 4.0; среднедневная прибыль: 35.00450758842704; по формуле: 35.0
x: 5.0; среднедневная прибыль: 40.62150723295993; по формуле: 40.625
x: 6.0; среднедневная прибыль: 44.997460773362945; по формуле: 45.0
x: 7.0; среднедневная прибыль: 48.12912697511656; по формуле: 48.125
x: 8.0; среднедневная прибыль: 49.998224024952506; по формуле: 50.0
x: 9.0; среднедневная прибыль: 50.616480071862895; по формуле: 50.625
x: 10.0; среднедневная прибыль: 50.00260443309082; по формуле: 50.0
x: 11.0; среднедневная прибыль: 50.00039409078982; по формуле: 48.125
x: 12.0; среднедневная прибыль: 49.99896998926389; по формуле: 45.0
максимум при х: 9.0
x: 9.0; среднедневная прибыль: 50.63554383030705; по формуле: 50.625
-----------------------------------------------------------------------
На главную страницу.