Задача о случайном спросе  
     
Дискретный случай


a – наименьший спрос
b – наибольший спрос
х – наивыгоднейший заказ
y – спрос

q – закупочная цена
p – отпускная цена

   1234567890
   ------====
   a     x  b


(x-a)   – спрос меньше заказа
(b-x+1) – спрос больше или равен заказу

Hs – прибыль для малого спроса
Hl – прибыль для избыточного спроса
H – ожидаемая прибыль

Нs = (-qx + py); вероятность Ps = (x-a)/(b-a+1),  y < x;

Hl = (-qx + px); вероятность Pl = (b-x+1)/(b-a+1),  y ≥ x;

H = Hs*Ps + Hl*Pl = (py - qx)*(x-a)/(b-a+1) + (px - qx)*(b-x+1)/(b-a+1);

(a+x-1)/2 – средний спрос меньше заказа

 
  H = (xp-xq)*(b-x+1)/(b-a+1) + [p(a+x-1)/2 - xq](x-a)/(b-a+1) =

    = [1/(b-a+1)] * [(xpb - xqb - xxp + xxq + xp - xq) + (xpa/2 + xxp/2 - xp/2 - xxq - paa/2 - xap/2 + a/2 + xaq)] = 
                                  ---   '''   ~~          """     ---     ~~     '''           """ 
    = [1/(b-a+1)] * [xpb - xqb - xxp/2 + xp/2 - xq - paa/2 + a/2 + xaq]

 dH/dx = [1/(b-a+1)] * [pb - qb - xp + p/2 - q + aq];    pb - qb - xp + p/2 - q + aq = 0;    
 
  pb - qb + p/2 - q + aq = xp;    x = b - (q/p)b + 1/2 - q/p + (q/p)a;    x = (1 - q/p)b + (1 - q/p) - 1/2 + (q/p)a;

  x = (1 - q/p)(b+1) + (q/p)a - 1/2;       x = (1 - 3/5)(4+1) + (3/5)*0 - 1/2 = 2/5 * 5 - 1/2 = 2 - 0.5 = 1.5;

  
 H(2) = {(2*50 - 2*30) * (4-2+1) + [50*(0+2-1)/2 - 2*30] * (2-0)} / (4-0+1) = {(100-60)*3 + [25-60]*2}/5 =
      
      = {120 - 70}/5 = 10

 H(1) = {(1*50 - 1*30) * (4-1+1) + [50*(0+1-1)/2 - 1*30] * (1-0)} / (4-0+1) ={(50-30)*4 + [25*0-30]*1}/5 = 

      = {80 - 30}/5 = 10



==============================

Дискретный случай со сбытом непроданного товара по остаточной цене


r – остаточная цена

Нs = -qx + py + r(x-y)


  H = (xp-xq)*(b-x+1)/(b-a+1) + [p(a+x-1)/2 - xq + r(x - (a+x-1)/2)](x-a)/(b-a+1) =
                                                   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    = [1/(b-a+1)] * [(xpb - xqb - xxp + xxq + xp - xq) + (xpa/2 + xxp/2 - xp/2 - xxq - paa/2 - xap/2 + a/2 + xaq) +
                                  ---   '''   ~~          """     ---     ~~     '''           """ 
                     + (rx - ra/2 - rx/2 + r/2)(x - a) ] = 
                        ``          ``

    = [1/(b-a+1)] * [xpb - xqb - xxp/2 + xp/2 - xq - paa/2 + a/2 + xaq  +     xxr/2 - xra/2 + xr/2  -  xar/2 + aar/2 - ar/2];


 dH/dx = [1/(b-a+1)] * [pb - qb - xp + p/2 - q + aq   + xr - ra/2 + r/2 - ra/2];    

  pb - qb - xp + p/2 - q + aq   + xr - ra + r/2= 0;    
 
  pb - qb + p/2 - q + aq - ra + r/2 = x(p - r);    

  x = [p(b + 1/2) - q(b - a + 1) - r(a - 1/2)] / (p - r);

 p=50
 q=30
 r=10
 a=0
 b=4
 
 x = [50(4 + 1/2) - 30*(5) - 10*(-1/2)]/(40);  x = [225 - 150 + 5]/40 = 80/40 = 2;

 H(2) = [1/(4-0+1)] * [2*50*4 - 2*30*4 - 2*2*50/2 + 2*50/2 - 2*30 - 50*0*0/2 + 0/2 + 2*0*30 + 2*2*10/2 - 2*10*0 + 2*10/2 + 0*0*10/2 - 0*10/2] =
      = (1/5)       * [400    - 240    - 100      + 50     - 60   - 0        + 0   + 0      + 20       - 0        + 10     + 0        - 0] =
      = 80 / 5 = 16;


 p=50
 q=30
 r=10
 a=1
 b=5
 
x = [50(5+1/2) - 30(5-1+1) - 10(1-1/2)]/(50-10);  x = [275 - 150 - 5] / 40 = 120/40 = 3.

 H   = [1/(b-a+1)] * [xpb    - xqb    - xxp/2    + xp/2   - xq   - paa/2    + a/2 + xaq    + xxr/2    - xra    + xr/2   + aar/2    - ar/2];

H(2) = [1/(5-1+1)] * [3*50*5 - 3*30*5 - 3*3*50/2 + 3*50/2 - 3*30 - 50*1*1/2 + 1/2 + 3*1*30 + 3*3*10/2 - 3*10*1 + 3*10/2 + 1*1*10/2 - 1*10/2] =
     = (1/5)       * [750    - 450    - 225      + 75     - 90   - 25       + 1/2 + 90     + 45       - 30     + 15     + 5        - 5] =
     = (155 + 1/2)/5 = 31.1                                 ''                      ''                                    '          '


==============================

Непрерывный случай со сбытом непроданного товара по остаточной цене

a – наименьший спрос
b – наибольший спрос
х – наивыгоднейший заказ
y – спрос

q – закупочная цена
p – отпускная цена
r – остаточная цена

|------|====|
a      x    b

(x-a) – спрос меньше заказа
(b-x) – спрос больше заказа

Hs – прибыль для малого спроса
Hl – прибыль для избыточного спроса
H – ожидаемая прибыль

(x+a)/2 – средний спрос меньше заказа

Нs = (-qx + py) + r(x-y); вероятность Ps = (x-a)/(b-a),  y<x;

Hl = (-qx + px);          вероятность Pl = (b-x)/(b-a),  y≥x;


H = Hs*Ps + Hl*Pl = (py - qx + rx - ry)*(x-a)/(b-a) + (px - qx)*(b-x)/(b-a) = 

  = [(p(x+a)/2 - qx + rx - r(x+a)/2)*(x-a) + (px - qx)*(b-x)] / (b-a) = 

  = [(px/2 + pa/2 - qx + rx - rx/2 - ra/2)*(x-a) + (pbx - qbx - pxx + qxx)] / (b - a) =

  = [pxx/2 + pax/2 - qxx + rxx/2 - rax/2 - pax/2 - paa/2 + qax - rax/2 + raa/2  +  pbx - qbx - pxx + qxx] / (b - a);


dH/dx = [px + pa/2 - 2qx + rx - ra/2 - pa/2  + qa - ra/2  + pb - qb - 2px + 2qx] / (b - a) = 0;

 px + pa/2 - 2qx + rx - ra/2 - pa/2  + qa - ra/2  + pb - qb - 2px + 2qx = 0;

 px - 2qx + rx - 2px + 2qx + pa/2 - ra/2 - pa/2  + qa - ra/2  + pb - qb = 0;

 x = (pa/2 - ra/2 - pa/2  + qa - ra/2  + pb - qb) / (-p + 2q - r + 2p - 2q) = 
      ''''   """"   ''''         """"                ``   ^^       ``   ^^

   = (qa + pb - qb - ra) / (p - r);